Material necesario — Material: calculadora científica. No hace falta ningún formulario: las fórmulas necesarias están en «Teoría básica».
Prerrequisitos
- Si Aᵗ·A = k·I (k ≠ 0), entonces A⁻¹ = (1/k)·Aᵗ
- A − λI no tiene inversa si y solo si |A − λI| = 0
- Si B⁻¹ = Bᵗ, entonces |B|² = 1, luego |B| = ±1
Se da la matriz A = (√5 0 0 ; 0 1 −2 ; 0 2 1). Obtén razonadamente, escribiendo todos los pasos: Notación: en el texto las matrices se escriben por filas, separadas por «;». Por ejemplo, (1 2 ; 3 4) es la matriz de filas (1 2) y (3 4).
a
La comprobación de que A⁻¹ = 5⁻¹·Aᵗ, siendo Aᵗ la traspuesta de A.
[4]
b
Los valores reales del parámetro λ para los que la matriz A − λI no tiene inversa, siendo I la identidad de orden 3.
[3]
c
El determinante de una matriz cuadrada B cuyo determinante es mayor que 0 y que verifica la igualdad B⁻¹ = Bᵗ.
[3]
Pistas progresivas
- 1General — los tres apartados usan la estructura de A: un bloque 1×1 (√5) y un bloque 2×2.
- 2Apartado a) — calcula |A| (= 5√5) y la matriz de adjuntos, o más fácil: comprueba Aᵗ·A = 5I.
- 3Apartado a), conclusión — si Aᵗ·A = 5I, multiplicando por A⁻¹ por la derecha resulta Aᵗ = 5A⁻¹, es decir, A⁻¹ = (1/5)Aᵗ.
- 4Apartado b) — |A − λI| = (√5 − λ)·[(1 − λ)² + 4].
- 5Apartado b), ecuación — (√5 − λ)((1 − λ)² + 4) = 0. El segundo factor es siempre positivo, así que solo λ = √5.
- 6Apartado c) — de B⁻¹ = Bᵗ y |B⁻¹| = 1/|B| se obtiene 1/|B| = |B|; con |B| > 0 queda un único valor.
Teoría básica
- Si Aᵗ·A = k·I entonces A⁻¹ = Aᵗ/k; si k = 1, la matriz es ortogonal (A⁻¹ = Aᵗ).
- Los valores λ que anulan |A − λI| son los autovalores; con raíces complejas no hay valores reales.
- Matrices con B⁻¹ = Bᵗ tienen determinante ±1.
Refuerzo
Libro — SM Revuela, Matemáticas II (LOMLOE) — Situación de aprendizaje 1.2 Determinantes. · SM Revuela, Matemáticas II (LOMLOE) — Situación de aprendizaje 1.1 Matrices.
Cuadernillo — Tus apuntes de determinantes (Material/Algebra/apuntes determinantes).
Vídeo —
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Apartado a) —
Aᵗ·A = (5 0 0 ; 0 5 0 ; 0 0 5) = 5I. Multiplicando por A⁻¹ por la derecha, Aᵗ = 5A⁻¹, luego A⁻¹ = 5⁻¹·Aᵗ. (|A| = 5√5 ≠ 0, así que A es invertible.)
Apartado b) —
|A − λI| = (√5 − λ)((1 − λ)² + 4) = 0. Como (1 − λ)² + 4 > 0 siempre, solo λ = √5. A − λI no tiene inversa únicamente para λ = √5.
Apartado c) —
B⁻¹ = Bᵗ → |B⁻¹| = |Bᵗ| → 1/|B| = |B| → |B|² = 1 → |B| = ±1; como |B| > 0, |B| = 1.