Material necesario — Material: calculadora científica. No hace falta ningún formulario: las fórmulas necesarias están en «Teoría básica».
Prerrequisitos
- Una matriz M es idempotente si M² = M
- B = A − kI tiene inversa si y solo si |B| ≠ 0
- Para comprobar una igualdad entre matrices en términos de M, expande los productos usando M² = M y la propiedad distributiva
Se dan las matrices A = (0 −2 ; 1 3) e I = (1 0 ; 0 1) y M, una matriz de dos filas y dos columnas que verifica M² = M. Obtén razonadamente: Notación: en el texto las matrices se escriben por filas, separadas por «;». Por ejemplo, (1 2 ; 3 4) es la matriz de filas (1 2) y (3 4).
a
Todos los valores reales k para los que la matriz B = A − kI tiene inversa.
[2]
b
La matriz inversa B⁻¹ cuando k = 3.
[2]
c
Las constantes reales α y β para las que se verifica que αA² + βA = −2I.
[4]
d
Comprobar razonadamente que la matriz P = I − M cumple las relaciones P² = P y M·P = P·M.
[2]
Pistas progresivas
- 1General — a), b) y c) dependen de A; d) es una demostración con M.
- 2Apartado a) — |A − kI| = (−k)(3 − k) − (−2)(1) = k² − 3k + 2 = (k − 1)(k − 2). Tiene inversa si no se anula.
- 3Apartado b) — para k = 3: B = (−3 −2 ; 1 0), |B| = 2; calcula B⁻¹ = (1/2)·(0 2 ; −1 −3).
- 4Apartado c), método — calcula A² = (−2 −6 ; 3 7) y plantea αA² + βA + 2I = 0, elemento a elemento: sale un sistema de ecuaciones.
- 5Apartado c), atajo — A² − 3A + 2I = 0 (el polinomio de A); compara coeficiente a coeficiente con αA² + βA + 2I = 0.
- 6Apartado d) — P² = (I − M)(I − M) = I − 2M + M² = I − 2M + M = I − M = P. Usa M·I = I·M = M.
Teoría básica
- Una matriz es invertible si y solo si su determinante es ≠ 0; para B = A − kI, |B| es un polinomio en k.
- Si M² = M, entonces Mⁿ = M para todo n ≥ 1, y (I − M)² = I − M.
- Dos matrices conmutan si AB = BA; I conmuta con cualquier matriz.
Refuerzo
Libro — SM Revuela, Matemáticas II (LOMLOE) — Situación de aprendizaje 1.1 Matrices.
Cuadernillo — Tus apuntes de matrices (Material/Algebra/apuntes matrices, fotos IMG_2565 a IMG_2570).
Vídeo —
↗ — «»
Apartado a) —
|B| = (k − 1)(k − 2). B tiene inversa para todo k ∉ {1, 2}.
Apartado b) —
Para k = 3: B = (−3 −2 ; 1 0), |B| = 2 y B⁻¹ = (0 1 ; −1/2 −3/2).
Apartado c) —
A² = (−2 −6 ; 3 7). αA² + βA = (−2α −6α − 2β ; 3α + β 7α + 3β) = −2I implica −2α = −2, −6α − 2β = 0, 3α + β = 0 y 7α + 3β = −2: se obtiene α = 1 y β = −3.
Apartado d) —
P² = (I − M)(I − M) = I − 2M + M² = I − 2M + M = I − M = P. Además M·P = M(I − M) = M − M² = M − M = 0 y P·M = (I − M)M = M − M² = 0: MP = PM.