Material necesario — Material: calculadora científica. No hace falta ningún formulario: las fórmulas necesarias están en «Teoría básica».
Prerrequisitos
- Inversa por adjuntos: A⁻¹ = (1/|A|)·(Adj A)ᵗ, con |A| ≠ 0
- Si una matriz cumple un polinomio igual a 0 (por ejemplo A³ − 3A² + 3A − I = 0), se puede despejar A⁻¹ multiplicando por A⁻¹
- Un sistema homogéneo (B)x = 0 tiene infinitas soluciones si y solo si |B| = 0
Sea A = (1 2 0 ; 0 1 0 ; 0 2 1). Obtén razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: Notación: en el texto las matrices se escriben por filas, separadas por «;». Por ejemplo, (1 2 ; 3 4) es la matriz de filas (1 2) y (3 4).
a
La justificación de que A tiene inversa y el cálculo de dicha matriz inversa.
[3]
b
Dos constantes a, b de modo que A⁻¹ = A² + aA + bI. Se puede usar (sin comprobarlo) que A verifica A³ − 3A² + 3A − I = 0, siendo I la identidad.
[3]
c
El valor de λ para que el sistema (A − λI)·(x y z)ᵗ = (0 0 0)ᵗ tenga infinitas soluciones. Para dicho valor de λ, hallar todas las soluciones del sistema.
[3]
Pistas progresivas
- 1General — los tres apartados giran en torno al mismo polinomio característico de A.
- 2Apartado a) — |A| = 1 ≠ 0, así que existe A⁻¹. Calcula adjuntos, traspón y divide entre |A|.
- 3Apartado b), idea — multiplica la igualdad A⁻¹ = A² + aA + bI por A: obtienes I = A³ + aA² + bA.
- 4Apartado b), siguiente paso — pásalo todo a un lado: A³ + aA² + bA − I = 0, y compáralo con A³ − 3A² + 3A − I = 0 (dato del enunciado).
- 5Apartado c) — (A − λI)x = 0 es homogéneo: tiene infinitas soluciones si y solo si |A − λI| = 0.
- 6Apartado c), cálculo — |A − λI| = (1 − λ)³, así que λ = 1. Sustituye λ = 1 y resuelve el sistema (0 2 0 ; 0 0 0 ; 0 2 0).
Teoría básica
- A⁻¹ = (1/|A|)·(Adj A)ᵗ. Si hay un polinomio P(A) = 0 con término independiente distinto de 0, puede despejarse A⁻¹.
- Un sistema homogéneo siempre tiene la solución x = 0; hay infinitas soluciones si y solo si el determinante de la matriz del sistema es cero.
- Para λ = 1 la solución es x libre, y = 0, z libre: un plano.
Refuerzo
Libro — SM Revuela, Matemáticas II (LOMLOE) — Situación de aprendizaje 1.1 Matrices. · SM Revuela, Matemáticas II (LOMLOE) — Situación de aprendizaje 1.2 Determinantes.
Cuadernillo — Tus apuntes de matrices (Material/Algebra/apuntes matrices, fotos IMG_2565 a IMG_2570).
Vídeo —
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Apartado a) —
|A| = 1 ≠ 0, luego A tiene inversa. A⁻¹ = (1 −2 0 ; 0 1 0 ; 0 −2 1).
Apartado b) —
De A³ − 3A² + 3A − I = 0 se obtiene A³ + (−3)A² + 3A − I = 0. Comparando con A³ + aA² + bA − I = 0 (que sale de multiplicar A⁻¹ = A² + aA + bI por A), resulta a = −3 y b = 3.
Apartado c) —
|A − λI| = (1 − λ)³ = 0, luego λ = 1. Para λ = 1, A − I = (0 2 0 ; 0 0 0 ; 0 2 0) y el sistema es 2y = 0: la solución es x = α, y = 0, z = β, con α, β ∈ ℝ.