Material necesario — Material: calculadora científica. No hace falta ningún formulario: las fórmulas necesarias están en «Teoría básica».
Prerrequisitos
- A tiene inversa si y solo si |A| ≠ 0; una matriz con dos filas proporcionales tiene determinante 0
- Si P(A) = 0 con término independiente no nulo, puede despejarse A⁻¹ en función de A
- Si (A − I)² = 0, la matriz A − I no es invertible
Se dan las matrices cuadradas I = (1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1) y A = (2 1 1 ; 2 3 2 ; −3 −3 −2). Notación: en el texto las matrices se escriben por filas, separadas por «;». Por ejemplo, (1 2 ; 3 4) es la matriz de filas (1 2) y (3 4).
a
Calcular las matrices (A − I)² y A·(A − 2I).
[4]
b
Justificar razonadamente que: b.1) existen las matrices inversas de A y de A − 2I; b.2) no existe la matriz inversa de A − I.
[2+2]
c
Determinar el valor del parámetro λ para el que se verifica A⁻¹ = λ·(A − 2I).
[2]
Pistas progresivas
- 1General — A − I y A − 2I son matrices muy cercanas a A; calcula las dos primero.
- 2Apartado a), (A − I)² — A − I = (1 1 1 ; 2 2 2 ; −3 −3 −3); al multiplicarla por sí misma sale la matriz nula 0.
- 3Apartado a), A(A − 2I) — A − 2I = (0 1 1 ; 2 1 2 ; −3 −3 −4); el producto A·(A − 2I) = −I.
- 4Apartado b.1) — calcula |A| y |A − 2I|: si son distintos de 0, existen las inversas.
- 5Apartado b.2) — |A − I| = 0 (las filas 1 y 2 son proporcionales: F₂ = 2F₁), luego no hay inversa.
- 6Apartado c) — de A·(A − 2I) = −I resulta A·(−(A − 2I)) = I, luego A⁻¹ = −(A − 2I): λ = −1.
Teoría básica
- Si A·B = I, entonces B = A⁻¹ (matrices cuadradas).
- Si dos filas son proporcionales, |A| = 0 y la matriz no tiene inversa.
- Un producto A·(A − 2I) = −I indica directamente que A⁻¹ = −(A − 2I).
Refuerzo
Libro — SM Revuela, Matemáticas II (LOMLOE) — Situación de aprendizaje 1.2 Determinantes. · SM Revuela, Matemáticas II (LOMLOE) — Situación de aprendizaje 1.1 Matrices.
Cuadernillo — Tus apuntes de determinantes (Material/Algebra/apuntes determinantes).
Vídeo —
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Apartado a) —
(A − I)² = 0 (matriz nula 3×3). A·(A − 2I) = (−1 0 0 ; 0 −1 0 ; 0 0 −1) = −I.
Apartado b) —
b.1) |A| = 1 ≠ 0 y |A − 2I| = −1 ≠ 0, luego existen A⁻¹ y (A − 2I)⁻¹. b.2) |A − I| = 0 (la fila 2 es el doble de la fila 1), luego A − I no tiene inversa.
Apartado c) —
De A·(A − 2I) = −I se obtiene A·[−(A − 2I)] = I, luego A⁻¹ = −(A − 2I) = −1·(A − 2I), es decir, λ = −1.