Material necesario — Material: calculadora científica. No hace falta ningún formulario: las fórmulas necesarias están en «Teoría básica».
Prerrequisitos
- |A·B| = |A|·|B|; |Aᵗ| = |A|; |A⁻¹| = 1/|A|; |k·A| = kⁿ·|A| para una matriz de orden n
- Si C² = 2C − I, se pueden calcular potencias superiores sustituyendo C² repetidamente
- Si B es invertible y B·B = B, multiplica por B⁻¹ para despejar B
Obtén razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: Notación: en el texto las matrices se escriben por filas, separadas por «;». Por ejemplo, (1 2 ; 3 4) es la matriz de filas (1 2) y (3 4).
a
La comprobación de que C² = 2C − I, siendo C = (5 −4 2 ; 2 −1 1 ; −4 4 −1) e I la matriz identidad 3×3, y el valor de la matriz C⁴.
[2,5+2,5]
b
El valor del determinante de la matriz (3Aᵗ)·(4A⁻¹)⁻¹, sabiendo que A es una matriz cuadrada de cuatro columnas cuyo determinante vale −1.
[3]
c
La matriz B que admite inversa y que verifica la igualdad B·B = B.
[2]
Pistas progresivas
- 1General — a) es un cálculo directo; b) usa solo propiedades (no se conoce A); c) es un razonamiento.
- 2Apartado a), comprobación — calcula C² multiplicando C por C y 2C − I; deben coincidir elemento a elemento.
- 3Apartado a), C⁴ — C⁴ = (C²)² = (2C − I)² = 4C² − 4C + I = 4(2C − I) − 4C + I = 4C − 3I.
- 4Apartado b), orden — A tiene 4 columnas, luego es 4×4. |3Aᵗ| = 3⁴·|A|.
- 5Apartado b), inversa — |(4A⁻¹)⁻¹| = 1/|4A⁻¹| = 1/(4⁴·|A⁻¹|), y |A⁻¹| = 1/|A|.
- 6Apartado c) — como B admite inversa, multiplica B·B = B por B⁻¹ por la izquierda.
Teoría básica
- |k·A| = kⁿ·|A| (n = orden de la matriz): el factor k se saca n veces, una por fila.
- |A·B| = |A|·|B|, |Aᵗ| = |A|, |A⁻¹| = 1/|A| y |(A)⁻¹| = 1/|A|.
- Una matriz invertible e idempotente (B² = B) es siempre la identidad.
Refuerzo
Libro — SM Revuela, Matemáticas II (LOMLOE) — Situación de aprendizaje 1.2 Determinantes. · SM Revuela, Matemáticas II (LOMLOE) — Situación de aprendizaje 1.1 Matrices.
Cuadernillo — Tus apuntes de determinantes (Material/Algebra/apuntes determinantes).
Vídeo —
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Apartado a) —
C² = (9 −8 4 ; 4 −3 2 ; −8 8 −3) y 2C − I = (9 −8 4 ; 4 −3 2 ; −8 8 −3): coinciden. C⁴ = 4C − 3I = (17 −16 8 ; 8 −7 4 ; −16 16 −7).
Apartado b) —
|3Aᵗ| = 3⁴·|A| = 81·(−1) = −81. |4A⁻¹| = 4⁴·|A⁻¹| = 256·(−1) = −256, luego |(4A⁻¹)⁻¹| = −1/256. El producto: (−81)·(−1/256) = 81/256.
Apartado c) —
B⁻¹·B·B = B⁻¹·B → B = I. La matriz es la identidad.