Material necesario — Material: calculadora científica. No hace falta ningún formulario: las fórmulas necesarias están en «Teoría básica».
Prerrequisitos
- Desarrollo por adjuntos: |A| = Σ aᵢⱼ·Aᵢⱼ, con Aᵢⱼ = (−1)^(i+j)·|Mᵢⱼ|, a lo largo de una fila o columna
- Lo más eficiente: hacer ceros con F_i → F_i + k·F_j (no cambian el determinante) y desarrollar por la fila o columna con más ceros
- En una matriz triangular, el determinante es el producto de la diagonal
Calcula los determinantes de orden 4 siguientes. Notación: en el texto las matrices se escriben por filas, separadas por «;». Por ejemplo, (1 2 ; 3 4) es la matriz de filas (1 2) y (3 4).
a
|1 −2 3 0 ; 0 2 −1 1 ; 3 0 1 −2 ; 1 1 2 1|, haciendo ceros en la primera columna.
[4]
b
|1 2 0 1 ; 0 1 0 2 ; 2 3 5 1 ; 1 0 0 3|, desarrollando por la tercera columna.
[3]
c
|2 1 1 1 ; 1 3 1 1 ; 1 1 4 1 ; 1 1 1 5|, usando operaciones elementales.
[3]
Pistas progresivas
- 1General — elige siempre la fila o columna con más ceros antes de desarrollar; si no hay, créalos.
- 2Apartado a) — usa la fila 1 como pivote: F₃ → F₃ − 3F₁ y F₄ → F₄ − F₁ dejan ceros en la primera columna.
- 3Apartado a), continúa — desarrolla por la primera columna: solo queda el elemento 1 de la fila 1 por un determinante 3×3 que calculas con Sarrus.
- 4Apartado b) — la tercera columna tiene tres ceros y un 5: |A| = 5·A₃₃ = 5·(+1)·|menor 3×3|.
- 5Apartado c) — resta la última fila a las demás (F_i → F_i − F₄ para i = 1, 2, 3): aparecen ceros salvo en la última columna y en la diagonal.
- 6Apartado c), recordatorio — comprueba que el resultado es positivo y de un tamaño razonable (entre 50 y 100).
Teoría básica
- Desarrollo por adjuntos con signos (−1)^(i+j): conviene elegir una fila o columna con ceros.
- Transformaciones F_i → F_i + kF_j no cambian el determinante; las que lo cambian (intercambio, producto por k) deben compensarse.
- El determinante de una matriz triangular es el producto de su diagonal.
Refuerzo
Libro — SM Revuela, Matemáticas II (LOMLOE) — Situación de aprendizaje 1.2 Determinantes.
Cuadernillo — Tus apuntes de determinantes (Material/Algebra/apuntes determinantes).
Vídeo —
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Apartado a) —
Tras F₃ → F₃ − 3F₁ y F₄ → F₄ − F₁: |1 −2 3 0 ; 0 2 −1 1 ; 0 6 −8 −2 ; 0 3 −1 1|. Desarrollando por la 1.ª columna: |2 −1 1 ; 6 −8 −2 ; 3 −1 1| = 10. Valor: 10 (no −37, como indica el solucionario del colegio).
Apartado b) —
Desarrollando por la 3.ª columna: 5·|1 2 1 ; 0 1 2 ; 1 0 3| = 5·(3 + 4 − 1) = 5·6 = 30.
Apartado c) —
Valor: 74 (no 120, como indica el solucionario del colegio). Restando la 4.ª fila a las tres primeras queda |1 0 0 −4 ; 0 2 0 −4 ; 0 0 3 −4 ; 1 1 1 5|. Con F₄ → F₄ − F₁ − ½F₂ − ⅓F₃ la última fila pasa a (0 0 0 37/3) y la matriz es triangular: 1·2·3·37/3 = 74.