Material necesario — Material: calculadora científica. No hace falta ningún formulario: las fórmulas necesarias están en «Teoría básica».
Prerrequisitos
- Matriz inversa de orden 2: A⁻¹ = (1/|A|)·(Adj A)ᵗ; para A = (a b ; c d), A⁻¹ = (1/|A|)·(d −b ; −c a)
- Despejar en una ecuación matricial exige respetar el orden: XA = B → X = B·A⁻¹; AY = B → Y = A⁻¹·B
- Si M² = I entonces M⁻¹ = M, y las potencias de M se repiten de dos en dos
Se dan las matrices A = (1 −3 ; 2 2) y B = (1 3 ; 2 −2). Obtén razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: Notación: en el texto las matrices se escriben por filas, separadas por «;». Por ejemplo, (1 2 ; 3 4) es la matriz de filas (1 2) y (3 4).
a
La matriz inversa de la matriz A.
[2]
b
Las matrices X e Y de orden 2×2 tales que XA = B y AY = B.
[2+2]
c
Justifica razonadamente que si M es una matriz cuadrada tal que M² = I, donde I es la matriz identidad del mismo orden que M, entonces se verifica la igualdad M³ = M⁷.
[4]
Pistas progresivas
- 1General — el apartado a) alimenta al b); el c) es independiente y es una demostración, no un cálculo.
- 2Apartado a) — |A| = 1·2 − (−3)·2 = 8. Luego A⁻¹ = (1/8)·(2 3 ; −2 1).
- 3Apartado b), X — XA = B; multiplica por A⁻¹ por la DERECHA: X·A·A⁻¹ = B·A⁻¹, luego X = B·A⁻¹.
- 4Apartado b), Y — AY = B; multiplica por A⁻¹ por la IZQUIERDA: Y = A⁻¹·B. El orden importa: X ≠ Y en general.
- 5Apartado c) — usa M² = I para reducir: M³ = M²·M = I·M = M.
- 6Apartado c), M⁷ — escribe M⁷ = (M²)³·M = I³·M = M. Los dos lados valen M, luego son iguales.
Teoría básica
- A·X = B → X = A⁻¹·B. X·A = B → X = B·A⁻¹. Nunca se puede intercambiar el orden.
- Existe A⁻¹ solo si |A| ≠ 0.
- Si M² = I, entonces M²ᵏ = I y M²ᵏ⁺¹ = M.
Refuerzo
Libro — SM Revuela, Matemáticas II (LOMLOE) — Situación de aprendizaje 1.1 Matrices.
Cuadernillo — Tus apuntes de matrices (Material/Algebra/apuntes matrices, fotos IMG_2565 a IMG_2570).
Vídeo —
↗ — «»
Apartado a) —
|A| = 8 ≠ 0. A⁻¹ = (1/8)·(2 3 ; −2 1) = (1/4 3/8 ; −1/4 1/8).
Apartado b) —
X = B·A⁻¹ = (−1/2 3/4 ; 1 1/2). Y = A⁻¹·B = (1 0 ; 0 −1).
Apartado c) —
M³ = M²·M = I·M = M. M⁷ = (M²)³·M = I³·M = M. Por tanto M³ = M = M⁷.