Material necesario — Material: calculadora científica. No hace falta ningún formulario: las fórmulas necesarias están en «Teoría básica».
Prerrequisitos
- El rango de una matriz es el número de filas no nulas de su forma escalonada (o el mayor orden de un menor distinto de 0)
- Transformaciones que no cambian el rango: intercambiar filas, multiplicar una fila por un número distinto de 0, sumar a una fila un múltiplo de otra
- Una matriz cuadrada n×n tiene rango n si y solo si su determinante es distinto de 0
Se consideran la matriz M = (1 2 −1 3 ; 2 4 0 2 ; 1 2 1 −1) y la matriz N(k) = (1 1 k ; 1 k 1 ; k 1 1), con k un número real. Notación: en el texto las matrices se escriben por filas, separadas por «;». Por ejemplo, (1 2 ; 3 4) es la matriz de filas (1 2) y (3 4).
a
Calcula el rango de M por el método de Gauss, indicando las transformaciones que usas.
[4]
b
Estudia el rango de N(k) según los valores de k.
[6]
Pistas progresivas
- 1General — la (a) es mecánica (Gauss); la (b) combina determinantes y casos particulares.
- 2Apartado a) — usa la primera fila como pivote: F₂ → F₂ − 2F₁ y F₃ → F₃ − F₁.
- 3Apartado a), continúa — tras eso quedan una fila de ceros y una fila no nula distinta de la 1.ª; mira si F₂ y F₃ son proporcionales.
- 4Apartado b) — como N(k) es 3×3, calcula |N(k)| y busca los valores de k que lo anulan.
- 5Apartado b), factorización — |N(k)| = −(k − 1)²(k + 2). Los valores críticos son k = 1 y k = −2.
- 6Apartado b), casos — si k ≠ 1 y k ≠ −2, el rango es 3. Sustituye k = 1 y k = −2 en la matriz y calcula el rango de cada caso a mano.
Teoría básica
- Por Gauss: lleva la matriz a forma escalonada y cuenta las filas no nulas.
- Con un parámetro: rango máximo cuando el determinante (o los menores de orden máximo) no se anulan; hay que estudiar aparte los valores que lo anulan.
- El rango no puede superar el menor de los números de filas y columnas.
Refuerzo
Libro — SM Revuela, Matemáticas II (LOMLOE) — Situación de aprendizaje 1.1 Matrices.
Cuadernillo — Tus apuntes de matrices (Material/Algebra/apuntes matrices, fotos IMG_2565 a IMG_2570).
Vídeo —
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Apartado a) —
F₂ → F₂ − 2F₁ da (0 0 2 −4) y F₃ → F₃ − F₁ da (0 0 2 −4); luego F₃ → F₃ − F₂ da una fila de ceros. Quedan 2 filas no nulas: rango(M) = 2.
Apartado b) —
|N(k)| = −(k − 1)²(k + 2). Si k ≠ 1 y k ≠ −2, |N(k)| ≠ 0 y rango = 3. Si k = 1, todas las filas son (1 1 1): rango = 1. Si k = −2, N = (1 1 −2 ; 1 −2 1 ; −2 1 1) tiene |N| = 0 y un menor de orden 2 distinto de 0 (por ejemplo 1·(−2) − 1·1 = −3), luego rango = 2.