Material necesario — Material: calculadora científica. No hace falta ningún formulario: las fórmulas necesarias están en «Teoría básica».
Prerrequisitos
- Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si |A| ≠ 0, y entonces A⁻¹ = (1/|A|)·(Adj A)ᵗ
- Si Aᵏ = I, las potencias se repiten con periodo k: Aⁿ = A^(n mod k)
- Aⁿ⁺ᵐ = Aⁿ·Aᵐ, y (Aᵃ)ᵇ = Aᵃᵇ
Se consideran las matrices A = (0 0 −1 ; 0 1 0 ; 1 0 0) e I = (1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1). Obtén razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: Notación: en el texto las matrices se escriben por filas, separadas por «;». Por ejemplo, (1 2 ; 3 4) es la matriz de filas (1 2) y (3 4).
a
La justificación de que A tiene matriz inversa y el cálculo de dicha inversa A⁻¹.
[2+2]
b
La justificación de que A⁴ = I.
[2]
c
El cálculo de las matrices A⁷, A³⁰ y A¹⁰⁰.
[4]
Pistas progresivas
- 1General — en toda la ficha usa el resultado de cada apartado en el siguiente: la inversa del a) ayuda con A⁷ en c).
- 2Apartado a), justificación — calcula |A| con la regla de Sarrus o desarrollando por la 2.ª fila; si es distinto de 0, A es invertible.
- 3Apartado a), cálculo — matriz de adjuntos, traspuesta y divide entre |A|. Aquí |A| = 1.
- 4Apartado b) — calcula A² multiplicando A por A, y luego A⁴ = A²·A².
- 5Apartado c), idea — como A⁴ = I, divide el exponente entre 4 y quédate con el resto: A⁷ = A⁴·A³ = A³ = A⁻¹ (porque A⁴ = I).
- 6Apartado c), A³⁰ — 30 = 4·7 + 2, así que A³⁰ = (A⁴)⁷·A² = A². A¹⁰⁰ — 100 = 4·25, así que A¹⁰⁰ = (A⁴)²⁵ = I.
Teoría básica
- Si |A| ≠ 0 existe A⁻¹ = (1/|A|)·(Adj A)ᵗ; si |A| = 0 no existe.
- Si Aᵏ = I, entonces Aⁿ = Aʳ con r el resto de dividir n entre k.
- A⁻¹ = Aᵏ⁻¹ cuando Aᵏ = I (porque A·Aᵏ⁻¹ = I).
Refuerzo
Libro — SM Revuela, Matemáticas II (LOMLOE) — Situación de aprendizaje 1.1 Matrices.
Cuadernillo — Tus apuntes de matrices (Material/Algebra/apuntes matrices, fotos IMG_2565 a IMG_2570).
Vídeo —
↗ — «»
Apartado a) —
|A| = 1 ≠ 0, luego existe A⁻¹. Adjuntos y traspuesta dan A⁻¹ = (0 0 1 ; 0 1 0 ; −1 0 0).
Apartado b) —
A² = (−1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 −1) y A⁴ = A²·A² = (1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1) = I.
Apartado c) —
A⁷ = A⁴·A³ = A³ = A²·A = A⁻¹ = (0 0 1 ; 0 1 0 ; −1 0 0). A³⁰ = (A⁴)⁷·A² = A² = (−1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 −1). A¹⁰⁰ = (A⁴)²⁵ = I.