Prerrequisitos
- Leyes de Kepler: (1) órbitas elípticas con el planeta en un foco; (2) el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales; (3) T² es proporcional a r³
- La fuerza gravitatoria sobre un satélite en órbita circular actúa como fuerza centrípeta: GMm/r² = mv²/r
- Rapidez orbital: v = 2πr/T
Io y Europa son dos lunas de Júpiter que describen órbitas aproximadamente circulares alrededor de su centro (ver diagrama). Io tiene un radio orbital r = 4,22 × 10⁸ m y un periodo de 1,77 días; Europa tiene un periodo de 3,55 días. G = 6,67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻² 1 día = 86 400 s
a
Enuncia la tercera ley de Kepler.
[1]
b
Calcula el radio orbital de Europa usando la tercera ley de Kepler y los datos de Io.
[2]
c
Explica, con la segunda ley de Kepler, en qué punto de una órbita elíptica se mueve más rápido un planeta.
[1]
d
Deduce la relación T² = (4π²/GM)·r³ igualando la fuerza gravitatoria con la fuerza centrípeta, y calcula con ella la masa de Júpiter a partir de los datos de Io.
[3]
Pistas progresivas
- 1General — para dos satélites del mismo planeta, T²/r³ tiene el mismo valor.
- 2Apartado a) — el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del radio orbital (o del semieje mayor).
- 3Apartado b) — (T_E/T_Io)² = (r_E/r_Io)³, luego r_E = r_Io·(T_E/T_Io)^(2/3).
- 4Apartado b), cifras — (3,55/1,77)^(2/3) ≈ 1,59; r_E ≈ 4,22 × 10⁸ × 1,59 ≈ 6,7 × 10⁸ m.
- 5Apartado c) — la segunda ley dice que el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales: ¿dónde debe ir más rápido para que eso ocurra, cerca o lejos del foco?
- 6Apartado d) — iguala GMm/r² = mv²/r y sustituye v = 2πr/T; despeja T².
- 7Apartado d), despeja M — M = 4π²r³/(GT²). Pasa el periodo a segundos: T = 1,77 × 86 400 s ≈ 1,53 × 10⁵ s.
- 8Apartado d), cifras — M = (4π² × (4,22 × 10⁸)³)/(6,67 × 10⁻¹¹ × (1,53 × 10⁵)²) ≈ 1,9 × 10²⁷ kg.
Teoría básica
- Tercera ley de Kepler: T² ∝ r³; para órbitas circulares, T² = (4π²/GM)·r³, con M la masa del cuerpo central.
- Segunda ley: el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales, así que el cuerpo es más rápido en el punto más cercano al foco (perihelio/periastro).
- La masa del cuerpo central se puede obtener midiendo el radio y el periodo de un satélite.
Refuerzo
Libro — Oxford Physics 2023 — Topic D.1 Gravitational fields, leyes de Kepler y movimiento orbital.
Cuadernillo — Cuadernillo de datos de Física — Tema D.1 (ley de gravitación) y constantes (G).
Vídeo —
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Apartado a) —
El cuadrado del periodo orbital es proporcional al cubo del radio orbital (semieje mayor): T² ∝ r³.
Apartado b) —
(T_E/T_Io)² = (r_E/r_Io)³ → r_E = 4,22 × 10⁸ × (3,55/1,77)^(2/3) ≈ 4,22 × 10⁸ × 1,59 ≈ 6,7 × 10⁸ m.
Apartado c) —
Como el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales, el planeta se mueve más rápido cuando está más cerca del foco (donde está el Sol), es decir, en el punto más cercano de la órbita.
Apartado d) —
GMm/r² = mv²/r con v = 2πr/T → GM/r² = 4π²r/T² → T² = (4π²/GM)r³. M = 4π²r³/(GT²) con T = 1,77 × 86 400 = 1,53 × 10⁵ s: M = 4π² × (4,22 × 10⁸)³/(6,67 × 10⁻¹¹ × (1,53 × 10⁵)²) ≈ 1,9 × 10²⁷ kg.