Material necesario — Material: calculadora científica. No hace falta ningún formulario: las fórmulas necesarias están en «Teoría básica».
Prerrequisitos
- Dimensión m × n: m filas y n columnas. Solo se pueden sumar matrices de la misma dimensión
- Producto A·B: solo se puede hacer si el número de columnas de A es igual al de filas de B; el elemento (i, j) es la fila i de A por la columna j de B
- La matriz traspuesta Aᵗ se obtiene intercambiando filas por columnas; (A·B)ᵗ = Bᵗ·Aᵗ
Se consideran las matrices A = (1 2 3 ; 0 −1 4), B = (2 0 1 ; −3 5 1) y C = (1 −2 ; 0 3 ; 4 1). Notación: en el texto las matrices se escriben por filas, separadas por «;». Por ejemplo, (1 2 ; 3 4) es la matriz de filas (1 2) y (3 4).
a
Calcula 3A − 2B e indica su dimensión.
[2]
b
Calcula A·C e indica su dimensión.
[3]
c
Calcula C·A. ¿Es igual A·C que C·A? Justifica.
[3]
d
Comprueba que (A·C)ᵗ = Cᵗ·Aᵗ.
[2]
Pistas progresivas
- 1General — antes de operar, escribe la dimensión de cada matriz: A es 2×3, B es 2×3 y C es 3×2.
- 2Apartado a) — A y B tienen la misma dimensión, así que se pueden combinar. Multiplica cada elemento por 3 (en A) y por 2 (en B) y resta elemento a elemento.
- 3Apartado b) — A es 2×3 y C es 3×2: las columnas de A (3) coinciden con las filas de C (3), luego A·C existe y es 2×2.
- 4Apartado b), método — el elemento (1,1) es 1·1 + 2·0 + 3·4. Calcula los otros tres de la misma forma.
- 5Apartado c) — C·A es (3×2)·(2×3) = 3×3. Compara su dimensión con la de A·C: si no coinciden, no pueden ser iguales.
- 6Apartado d) — calcula la traspuesta de A·C; luego calcula Cᵗ (2×3) por Aᵗ (3×2) y compara.
Teoría básica
- Suma y resta: elemento a elemento, solo con la misma dimensión. Producto por un número: multiplica todos los elementos.
- Producto: (m×n)·(n×p) = (m×p). En general A·B ≠ B·A (no es conmutativo), y puede que uno de los dos ni exista.
- Traspuesta: (Aᵗ)ᵗ = A, (A + B)ᵗ = Aᵗ + Bᵗ, (A·B)ᵗ = Bᵗ·Aᵗ (cambia el orden).
Refuerzo
Libro — SM Revuela, Matemáticas II (LOMLOE) — Situación de aprendizaje 1.1 Matrices.
Cuadernillo — Tus apuntes de matrices (Material/Algebra/apuntes matrices, fotos IMG_2565 a IMG_2570).
Vídeo —
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Apartado a) —
3A − 2B = (3 6 9 ; 0 −3 12) − (4 0 2 ; −6 10 2) = (−1 6 7 ; 6 −13 10). Dimensión 2×3.
Apartado b) —
A·C = (1·1 + 2·0 + 3·4 , 1·(−2) + 2·3 + 3·1 ; 0·1 + (−1)·0 + 4·4 , 0·(−2) + (−1)·3 + 4·1) = (13 7 ; 16 1). Dimensión 2×2.
Apartado c) —
C·A = (1 4 −5 ; 0 −3 12 ; 4 7 16), de dimensión 3×3. No es igual a A·C (que es 2×2): el producto de matrices no es conmutativo.
Apartado d) —
(A·C)ᵗ = (13 16 ; 7 1). Cᵗ = (1 0 4 ; −2 3 1) y Aᵗ = (1 0 ; 2 −1 ; 3 4), y Cᵗ·Aᵗ = (13 16 ; 7 1). Coinciden, luego (A·C)ᵗ = Cᵗ·Aᵗ.