Material necesario — Cuadernillo de datos: sí — energía potencial gravitatoria, Tema D.1.
Prerrequisitos
- Energía potencial gravitatoria de una masa m en el campo de una masa M, a una distancia r de su centro: Ep = −GMm/r
- El signo negativo indica que el sistema está "ligado": hace falta aportar energía externa para separar las masas hasta el infinito
- El trabajo mínimo para mover una masa de un punto a otro, contra el campo, es igual al cambio de energía potencial: W = ΔEp
Una nave espacial de masa m se aleja de un planeta de masa M. Inicialmente la nave está a una distancia r1 del centro del planeta; más tarde, a una distancia r2 = 2r1 (el doble). M (planeta) = 4,0×10²² kg m (nave) = 200 kg r1 = 2,0×10⁶ m r2 = 4,0×10⁶ m
a
Escribe la fórmula de la energía potencial gravitatoria de la nave en el campo del planeta.
[1]
b
Calcula la energía potencial gravitatoria de la nave cuando está a distancia r1.
[2]
c
Calcula la energía potencial gravitatoria de la nave cuando está a distancia r2, y compara el resultado con el del apartado b).
[2]
d
Calcula el trabajo mínimo necesario para mover la nave desde r1 hasta r2.
[2]
Pistas progresivas
- 1General — la energía potencial gravitatoria es siempre NEGATIVA (o cero, en el infinito) — no te asustes con el signo, es parte normal del resultado.
- 2Apartado a) — busca en el Cuadernillo la fórmula de energía potencial gravitatoria.
- 3Apartado a), fórmula — Ep = −GMm/r.
- 4Apartado b) — sustituye los valores de M, m y r1 directamente.
- 5Apartado b), cifras — Ep1 = −6,67×10⁻¹¹ × 4,0×10²² × 200 / 2,0×10⁶ ≈ −2,7×10⁸ J.
- 6Apartado c) — sustituye ahora con r2 = 4,0×10⁶ m (el doble de r1).
- 7Apartado c), cifras — Ep2 = −6,67×10⁻¹¹ × 4,0×10²² × 200 / 4,0×10⁶ ≈ −1,3×10⁸ J. Fíjate: al duplicarse r, la MAGNITUD de Ep se ha reducido a la mitad (no a la cuarta parte, como pasaba con la fuerza — Ep depende de 1/r, no de 1/r²).
- 8Apartado d) — el trabajo mínimo para alejar la nave es igual al cambio de energía potencial: W = Ep2 − Ep1 (con su signo).
- 9Apartado d), cifras — W = (−1,3×10⁸) − (−2,7×10⁸) ≈ +1,3×10⁸ J (positivo: hay que APORTAR energía para alejar la nave, tiene sentido porque hay que vencer la atracción gravitatoria).
Teoría básica
- Energía potencial gravitatoria: Ep = −GMm/r. — Cuadernillo de datos, Tema D.1.
- A diferencia de la fuerza (F ∝ 1/r²), la energía potencial depende de 1/r — al duplicar r, |Ep| se reduce a la mitad, no a la cuarta parte.
- Trabajo mínimo para mover una masa entre dos puntos del campo: W = ΔEp = Ep(final) − Ep(inicial).
- Un valor positivo de W significa que hay que aportar energía externa (el campo "se opone" al movimiento); uno negativo significa que el campo realiza trabajo a favor.
Refuerzo
Libro — Oxford Physics 2023 — Topic D.1 Gravitational fields, energía potencial gravitatoria.
Cuadernillo — Cuadernillo de datos de Física — Tema D.1, Ep = −GMm/r.
Vídeo —
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Apartado a) —
Ep = −GMm/r.
Apartado b) —
Ep1 = −(6,67×10⁻¹¹)(4,0×10²²)(200) / 2,0×10⁶ ≈ −2,7×10⁸ J.
Apartado c) —
Ep2 = −(6,67×10⁻¹¹)(4,0×10²²)(200) / 4,0×10⁶ ≈ −1,3×10⁸ J — la magnitud es la mitad de Ep1, coherente con la dependencia 1/r (no 1/r²) de la energía potencial.
Apartado d) —
W = Ep2 − Ep1 = (−1,3×10⁸) − (−2,7×10⁸) ≈ +1,3×10⁸ J.