Material necesario — Material: calculadora científica. No hace falta ningún formulario: las fórmulas necesarias están en «Teoría básica».
Prerrequisitos
- Determinante 2×2: |a b ; c d| = ad − bc
- Regla de Sarrus (3×3): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres de diagonales «hacia arriba»
- Propiedades: intercambiar dos filas cambia el signo; multiplicar una fila por k multiplica el determinante por k; sumar a una fila un múltiplo de otra no lo cambia
Calcula los determinantes siguientes. Notación: en el texto las matrices se escriben por filas, separadas por «;». Por ejemplo, (1 2 ; 3 4) es la matriz de filas (1 2) y (3 4).
a
|2 −1 ; 3 5|, |4 −2 ; 0 3| y |−1 2 ; 6 −4|.
[3]
b
Por la regla de Sarrus: |1 2 3 ; 0 1 4 ; 5 6 0| y |3 2 1 ; 1 −1 2 ; 2 1 −1|.
[4]
c
Sin volver a calcularlos con Sarrus, di cuánto valen los determinantes que resultan de (i) intercambiar las filas 1 y 2 del primer determinante de b), (ii) multiplicar su fila 1 por 3, y (iii) restar a su fila 3 cinco veces su fila 1. Justifica con la propiedad correspondiente.
[3]
Pistas progresivas
- 1General — primero calcula, y después usa el resultado (no vuelvas a calcular) en el apartado c).
- 2Apartado a) — usa ad − bc. Cuidado con los signos de los términos negativos.
- 3Apartado b), 1.º — Sarrus: (1·1·0 + 2·4·5 + 3·0·6) − (3·1·5 + 1·4·6 + 2·0·0) = 40 − 39.
- 4Apartado b), 2.º — (3·(−1)·(−1) + 2·2·2 + 1·1·1) − (1·(−1)·2 + 3·2·1 + 2·1·(−1)) = 12 − 2.
- 5Apartado c) — (i) intercambiar dos filas cambia el signo; (ii) multiplicar una fila por 3 multiplica el determinante por 3; (iii) restar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante.
- 6Apartado c), antes de entregar — cada respuesta debe nombrar la propiedad que usas.
Teoría básica
- Sarrus: a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃.
- Intercambiar dos filas: el determinante cambia de signo. Multiplicar una fila por k: el determinante queda multiplicado por k.
- F_i → F_i + k·F_j no cambia el determinante; es la transformación más útil para calcular.
Refuerzo
Libro — SM Revuela, Matemáticas II (LOMLOE) — Situación de aprendizaje 1.2 Determinantes.
Cuadernillo — Tus apuntes de determinantes (Material/Algebra/apuntes determinantes).
Vídeo —
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Apartado a) —
2·5 − (−1)·3 = 13; 4·3 − (−2)·0 = 12; (−1)(−4) − 2·6 = −8.
Apartado b) —
Primero: (0 + 40 + 0) − (15 + 24 + 0) = 1. Segundo: (3 + 8 + 1) − (−2 + 6 − 2) = 12 − 2 = 10.
Apartado c) —
(i) −1 (cambia el signo al intercambiar dos filas). (ii) 3·1 = 3 (se multiplica la fila por 3). (iii) 1 (sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante).