Material necesario — Material: calculadora científica. No hace falta ningún formulario: las fórmulas necesarias están en «Teoría básica».
Prerrequisitos
- Producto de matrices (m×n)·(n×p); el producto matricial no es conmutativo
- A⁻¹ existe si |A| ≠ 0; para orden 2, A⁻¹ = (1/|A|)·(d −b ; −c a)
- DX = M → X = D⁻¹M (inversa por la izquierda). YD = M → Y = MD⁻¹ (inversa por la derecha)
Dadas las matrices reales A = (5 8 ; 9 4), B = (1 1 −1 ; 2 −3 2), C = (2 −1 ; −3 2 ; 1 4) y D = (3 7 ; 1 2), se pide: Notación: en el texto las matrices se escriben por filas, separadas por «;». Por ejemplo, (1 2 ; 3 4) es la matriz de filas (1 2) y (3 4).
a
Calcular la matriz M = A − 2·B·C.
[1]
b
Justificar que existe la matriz inversa D⁻¹ de D y calcular tal matriz.
[0,9]
c
Calcular las matrices X e Y que cumplen D·X = M = Y·D.
[1,4]
Pistas progresivas
- 1General — primero B·C (2×3 por 3×2 = 2×2), luego multiplica por 2 y resta a A.
- 2Apartado a) — B·C = (1·2 + 1·(−3) + (−1)·1 , … ; … ) da una matriz 2×2; calcúlala con cuidado de signos.
- 3Apartado b) — |D| = 3·2 − 7·1 = −1 ≠ 0, así que D⁻¹ existe; D⁻¹ = (1/−1)·(2 −7 ; −1 3).
- 4Apartado c), X — D·X = M, multiplica por D⁻¹ por la izquierda: X = D⁻¹·M.
- 5Apartado c), Y — Y·D = M, multiplica por D⁻¹ por la derecha: Y = M·D⁻¹.
- 6Apartado c), comprobación — comprueba que D·X da M y que Y·D da M.
Teoría básica
- (m×n)·(n×p) = (m×p). B·C solo existe si las columnas de B coinciden con las filas de C.
- Con ecuaciones matriciales, multiplica la inversa en el mismo lado en que está la matriz que quieres eliminar.
- Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es cero.
Refuerzo
Libro — SM Revuela, Matemáticas II (LOMLOE) — Situación de aprendizaje 1.1 Matrices.
Cuadernillo — Tus apuntes de matrices (Material/Algebra/apuntes matrices, fotos IMG_2565 a IMG_2570).
Vídeo —
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Apartado a) —
B·C = (1·2 + 1·(−3) + (−1)·1 , 1·(−1) + 1·2 + (−1)·4 ; 2·2 + (−3)(−3) + 2·1 , 2·(−1) + (−3)·2 + 2·4) = (−2 −3 ; 15 0). Entonces M = A − 2·B·C = (5 8 ; 9 4) − (−4 −6 ; 30 0) = (9 14 ; −21 4).
Apartado b) —
|D| = −1 ≠ 0, luego existe D⁻¹ = (−2 7 ; 1 −3).
Apartado c) —
X = D⁻¹·M = (−165 0 ; 72 2). Y = M·D⁻¹ = (−4 21 ; 46 −159).